问题

对于慢性病而言，疾病有自身的亚型差异与演进过程。

然而，横断面研究只能捕获某一瞬间某个个体的患病情况。

我们该如何根据许多个横断面，同时推测人群中的个体所患疾病的亚型，以及疾病的演进过程？

SuStaIn

我们定义，如果某种疾病的某些标志物以某一种特定形式演进，那它就构成一种亚型。

对于个体 $j$ ，我们可以测量生物标志物 $i$ ，得到观测 $x_{ij}$ ，我们的数据集可以表示为 $X{x_{ij}|i=1, \cdots, I,j=1, \cdots, J}$ 。如果生物标志物 $i$ 提示了异常（或者指示了某个事件），就记作 $E_i$ 。

我们想计算在这个群体中事件发生的顺序 $S$ ，可以使下面的式子概率最大

$P(X|S) = \prod_{j=1}^J\left[\sum_{k=0}^I\left(P(k)\prod_{i=1}^kP\left(x_{ij}|E_i\right)\prod_{i=k+1}^IP(x_{ij}|\neg E_i)\right)\right]$

其中 $k$ 表示阶段，在阶段 $k$ ， $E_{k+1}\cdots E_{I}$ 还是尚未发生的事件。